線形代数例

$[\begin{array}{c} x & 0 & \frac{1}{x} \\ 1 & 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 2

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ をかけます。

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$x (0 \frac{2}{x^{3}} - 2 x (- \frac{1}{x^{2}})) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 3.2

行列式を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$0$ に $\frac{2}{x^{3}}$ をかけます。

$x (0 - 2 x (- \frac{1}{x^{2}})) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.2.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x (0 - 2 x \frac{- 1}{x^{2}}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x^{2}}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2.3

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x \cdot x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x \cdot x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2.5

式を書き換えます。

$x (0 - 2 \frac{- 1}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 3.2.1.3

$- 2$ と $\frac{- 1}{x}$ をまとめます。

$x (0 + \frac{- 2 \cdot - 1}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 3.2.1.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x (0 + \frac{2}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 3.2.2

$0$ と $\frac{2}{x}$ をたし算します。

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (1 (2 x) + 0 \cdot 0)$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$2 x$ に $1$ をかけます。

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x + 0 \cdot 0)$

ステップ 4.2.1.2

$0$ に $0$ をかけます。

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x + 0)$

ステップ 4.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 5

行列式を簡約します。

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ステップ 5.1

$x \frac{2}{x}$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{2}{x} + \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$x \frac{2}{x} + \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$2 + \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 5.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 + 2 \frac{1}{x} x$

ステップ 5.2.3

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 + \frac{2}{x} x$

ステップ 5.2.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$2 + \frac{2}{x} x$

ステップ 5.2.4.2

式を書き換えます。

$2 + 2$

ステップ 5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$4$

線形代数 例

線形代数例